Nous étudions le problème de l'estimation moyenne localement privée des vecteurs de grande dimension dans la boule euclidienne. Les algorithmes existants pour ce problème génèrent des erreurs sous-optimales ou présentent une complexité de communication et/ou d'exécution élevée. Nous proposons un nouveau cadre algorithmique, ProjUnit, pour l'estimation de moyenne privée qui produit des algorithmes efficaces sur le plan informatique, ayant une faible complexité de communication et engendrant une erreur optimale jusqu'à un facteur 1+o(1). Notre cadre est d'une simplicité trompeuse : chaque randomiseur projette son entrée dans un sous-espace aléatoire de basse dimension, normalise le résultat, puis exécute un algorithme optimal tel que PrivUnitG dans l'espace de basse dimension. De plus, nous montrons qu’en corrélant de manière appropriée les matrices de projection aléatoires sur tous les appareils, nous pouvons obtenir une exécution rapide du serveur. Nous analysons mathématiquement l'erreur de l'algorithme en termes de propriétés des projections aléatoires, et étudions deux instanciations. Enfin, nos expériences d'estimation de moyenne privée et d'apprentissage fédéré privé démontrent que nos algorithmes obtiennent empiriquement presque la même utilité que les algorithmes optimaux tout en ayant un coût de communication et de calcul significativement inférieur.