Recherche
Il y a plus d'un siècle, Srinivasa Ramanujan a choqué le monde mathématique avec son extraordinaire capacité à voir des modèles remarquables dans les nombres que personne d'autre ne pouvait voir. Le mathématicien autodidacte indien a décrit ses idées comme profondément intuitives et spirituelles, et des schémas lui venaient souvent dans des rêves vifs. Ces observations ont capturé l’immense beauté et la pure possibilité du monde abstrait des mathématiques pures. Ces dernières années, nous avons commencé à voir l’IA faire des percées dans domaines impliquant une profonde intuition humaineet plus récemment sur certains des les problèmes les plus difficiles dans les sciencesPourtant, jusqu’à présent, les dernières techniques d’IA n’ont pas permis d’obtenir des résultats significatifs dans la recherche en mathématiques pures.
Dans le cadre de La mission de DeepMind pour résoudre l’intelligence, nous avons exploré le potentiel de l’apprentissage automatique (ML) pour reconnaître les structures et les modèles mathématiques et aider les mathématiciens à découvrir des découvertes qu’ils n’auraient peut-être jamais trouvées autrement – démontrant pour la première fois que l’IA peut aider à l’avant-garde des mathématiques pures.
Notre document de recherche, publié aujourd'hui dans la revue Nature, détaille notre collaboration avec les meilleurs mathématiciens pour appliquer l'IA à la découverte de nouvelles connaissances dans deux domaines des mathématiques pures : la topologie et la théorie des représentations. Avec Professeur Geordie Williamson à l’Université de Sydney, nous avons découvert une nouvelle formule pour une conjecture sur les permutations restée non résolue pendant des décennies. Avec Professeur Marc Lackenby et Professeur András Juhász à l'Université d'Oxford, nous avons découvert un lien inattendu entre différents domaines des mathématiques en étudiant la structure des nœuds. Il s’agit des premières découvertes mathématiques significatives réalisées grâce à l’apprentissage automatique, selon les meilleurs mathématiciens qui ont examiné les travaux. Nous publions également des articles complémentaires complets sur arXiv pour chaque résultat qui sera soumis aux revues mathématiques appropriées (papier de permutations; noeuds en papier). À travers ces exemples, nous proposons un modèle sur la manière dont ces outils pourraient être utilisés par d'autres mathématiciens pour obtenir de nouveaux résultats.
Un nœud est l'un des objets fondamentaux de la topologie de basse dimension. C'est une boucle torsadée intégrée dans un espace tridimensionnel.
Une permutation est un réarrangement d'une liste ordonnée d'objets. La permutation « 32415 » met le 1er élément au 3ème emplacement, le 2ème élément au 2ème emplacement et ainsi de suite.
Les deux objets fondamentaux que nous avons étudiés étaient les nœuds et les permutations.
Depuis de nombreuses années, les mathématiciens utilisent des ordinateurs pour générer des données facilitant la recherche de modèles. Connu sous le nom de mathématiques expérimentales, ce type de recherche a abouti à des conjectures bien connues, telles que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer — l'un des six Problèmes liés au prix du millénaire, les problèmes ouverts de mathématiques les plus connus (avec chacun un prix d'un million de dollars). Bien que cette approche ait été couronnée de succès et soit assez courante, l’identification et la découverte de modèles à partir de ces données reposent encore principalement sur les mathématiciens.
La recherche de modèles est devenue encore plus importante en mathématiques pures, car il est désormais possible de générer plus de données que ce qu'un mathématicien peut raisonnablement espérer étudier au cours de sa vie. Certains objets d’intérêt – comme ceux qui ont des milliers de dimensions – peuvent aussi être tout simplement trop insondables pour qu’on puisse les analyser directement. En gardant ces contraintes à l’esprit, nous pensions que l’IA serait capable d’améliorer les connaissances des mathématiciens de manière entièrement nouvelle.
C'est comme si Galilée prenait un télescope et était capable de contempler profondément l'univers des données et de voir des choses jamais détectées auparavant.
Marcus Du Sautoy, professeur Simonyi pour la compréhension publique des sciences et professeur de mathématiques, Université d'Oxford
Nos résultats suggèrent que le ML peut compléter la recherche en mathématiques pour guider l'intuition sur un problème en détectant l'existence de modèles hypothétiques grâce à l'apprentissage supervisé et en donnant un aperçu de ces modèles grâce à des techniques d'attribution issues de l'apprentissage automatique :
Avec le professeur Williamson, nous avons utilisé l’IA pour découvrir une nouvelle approche d’une conjecture de longue date dans la théorie des représentations. Défiant le progrès depuis près de 40 ans, le conjecture d'invariance combinatoiredéclare qu'une relation devrait exister entre certains graphes orientés et polynômes. Grâce aux techniques de ML, nous avons pu être sûrs qu'une telle relation existe bel et bien et identifier qu'elle pourrait être liée à des structures connues sous le nom d'intervalles dièdres brisés et de réflexions extrémales. Grâce à ces connaissances, le professeur Williamson a pu conjecturer un algorithme surprenant et magnifique qui résoudrait la conjecture de l'invariance combinatoire. Nous avons vérifié informatiquement le nouvel algorithme sur plus de 3 millions d’exemples.
Avec les professeurs Lackenby et Juhász, nous avons exploré les nœuds, l'un des objets d'étude fondamentaux en topologie. Les nœuds nous renseignent non seulement sur les nombreuses façons dont une corde peut s'emmêler, mais ils présentent également des liens surprenants avec la théorie quantique des champs et la géométrie non euclidienne. L'algèbre, la géométrie et la théorie quantique partagent toutes des perspectives uniques sur ces objets et un mystère de longue date concerne la relation entre ces différentes branches : par exemple, que nous dit la géométrie du nœud sur l'algèbre ? Nous avons entraîné un modèle ML pour découvrir un tel modèle et, de manière surprenante, cela a révélé qu'une quantité algébrique particulière – la signature – était directement liée à la géométrie du nœud, ce qui n'était ni connu ni suggéré auparavant par la théorie existante. En utilisant des techniques d'attribution issues de l'apprentissage automatique, nous avons guidé le professeur Lackenby dans la découverte d'une nouvelle quantité, que nous appelons la pente naturelle, qui fait allusion à un aspect important de la structure négligé jusqu'à présent. Ensemble, nous avons alors pu prouver la nature exacte de la relation, établissant ainsi certaines des premières connexions entre ces différentes branches des mathématiques.
Nous avons étudié si le ML pouvait faire la lumière sur les relations entre différents objets mathématiques. Voici deux « intervalles de Bruhat » et leurs « polynômes de Kazhdan-Lusztig » associés – deux objets fondamentaux de la théorie des représentations. Un intervalle de Bruhat est un diagramme qui représente toutes les différentes façons dont vous pouvez inverser l'ordre d'une collection d'objets en n'en échangeant que deux à la fois. Les polynômes KL indiquent aux mathématiciens quelque chose de profond et de subtil sur les différentes manières dont ce graphe peut exister dans un espace de grande dimension. Une structure intéressante ne commence à émerger que lorsque les intervalles de Bruhat ont des centaines ou des milliers de sommets.
Nos modèles mettent en évidence une structure jusqu’alors inconnue qui nous a guidé vers de nouveaux résultats mathématiques surprenants. On voit ici une relation frappante entre la géométrie et la signature d’un nœud. La géométrie d'un nœud est liée à sa forme (par exemple son volume) lorsqu'elle est mesurée de manière canonique. La signature est un invariant algébrique qui peut être calculé en regardant la façon dont le nœud se croise et se tord.
L’utilisation de techniques d’apprentissage et de systèmes d’IA est très prometteuse pour l’identification et la découverte de modèles mathématiques. Même si certains types de modèles continuent d’échapper au ML moderne, nous espérons notre papier Nature peut inciter d’autres chercheurs à considérer le potentiel de l’IA comme un outil utile en mathématiques pures. Pour reproduire les résultats, n'importe qui peut accéder à notre cahiers interactifs. En réfléchissant à l'incroyable esprit de Ramanujan, Temple George Frederick James a écrit : « Les grands progrès en mathématiques n’ont pas été réalisés par la logique mais par l’imagination créatrice. » En collaboration avec des mathématiciens, nous sommes impatients de voir comment l’IA peut élever davantage la beauté de l’intuition humaine à de nouveaux niveaux de créativité.
